b

a

f(x) =

Integral

a =

b =

Information

INTEGRATOR  II

Man kann eine Funktion f und Intervallgrenzen a und b eingeben.
1. Mit dem Kontrollkästchen Obersumme kann man die n-te Obersumme von f auf [a, x] anzeigen lassen. 
    Dazu wird ein Punkt O_a erzeugt, der an der Stelle x ∈ [a, b] als y-Wert diese Oberumme hat. 
    Entsprechend für die Untersumme und den Punkt U_a. Den Wert von n kann man am Schieberegler verändern.
    Deweiteren kann man das Integral (f,a,x) und den Punkt I_a anzeigen lassen.

2. Die Punkte O_a, U_a und I_a erzeugen in Abhängigkeit von S auf dem Graphen von f Ortslinien, die Graphen 
    der Obersummenfunktion, der Untersummenfunktion und der Integralfunktion sind 
    (ohne dass man dazu den Funktionsterm kennen muss!)

    O_a, U_a hängen auch noch von n ab. Präzise müsste man O_{a,n} usw. schreiben.

    Man kann nun die Beziehung dieser Funktionsgraphen untersuchen.
    Man kann weiter auch a verändern und die Auswirkungen untersuchen. 

                Integrator II                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          
                                   

H.-J. Elschenbroich & G. Seebach (2015)

x

Obersumme O_n

Untersumme U_n

Aufgabe

Auf dem Intervall [a, b] kann der Punkt S auf dem Graphen von f gezogen werden.
Seine x-Koordinate wird als x angezeigt.
Durch Anklicken des Kontrollkästchens Obersumme wird die Obersumme von f auf [a, x] 
berechnet und als y-Koordinate eines Punktes O_a angezeigt.
Beim Kontrollkästchen Untersumme entsprechend für U_a.
a) Aktiviere beide Kontrollkästchen. Ziehe an S und ändere auch n. Was stellst du fest?
b) O_a erzeugt eine Ortslinie abhängig von S und U_a ebenfalls.
     Diese kann man mit dem entsprechenden Kotrollkästchen sichtbar machen.
     Was stellst du fest, wenn du nun n am Schieberegler vergrößerst?
c) Aktiviere auch das Kontrollkästchen Integralfunktion. Was stellst du fest?

Obersummenfunktion

Untersummenfunktion

Integralfunktion

b = 4 (slider from a + 1 to 20, step 0.1)
B: (b, 0)
a = -2 (slider from -10 to 10, step 0.1)
A: (a, 0)
f(x) = (0.4 * x^(2)) + 1
f1(x) = If[x(A) ≤ x ≤ x(B), f]
S = Point(f1)
n = 8 (slider from 1 to 100, step 1)
d = Segment(A, B)
Textfeld2 = Textfield(f)
Untersumme_n = LowerSum(f, a, x(S), n)
Obersumme_n = UpperSum(f, a, x(S), n)
Integral_x = Integral(f, a, x(S))
I_a: (x(S), Integral_x)
integral = false
Textfeld1 = Textfield(a)
Textfeld3 = Textfield(b)
info = false
XS: (x(S), 0)
q = Segment(S, XS)
i = Segment(A, XS)
r = Segment(XS, I_a)
obersumme = false
untersumme = false
aufg = false
s = Segment(S, XS)
t = Segment(A, XS)
O_a: (x(S), Obersumme_n)
U_a: (x(S), Untersumme_n)
f2(x) = If[x(A) ≤ x ≤ x(S), f(x)]
oberfkt = false
unterfkt = false
integralfkt = false
Ortslinie1 = Locus(O_a, S)
Untersummenfunktion = Locus(U_a, S)
Integralfunktion = Locus(I_a, S)