b

a

f(x) =

Integral von f auf [a, x]

a =

b =

Information

INTEGRATOR  III b  (Hauptsatz)

Mit dem Kontrollkästchen Steigung Integralfunktion wird am Punkt I_a  (linksseitig) eine Tangente 
an den Graphen der Integralfunktion erzeugt und deren Steigung ausgegeben. 
Weiter wird ein Punkt F' erzeugt, der an der Stelle x = x(S) als y-Wert diese Steigung hat. 
Dann kann man die Eigenschaften von F' untersuchen, wenn man an x zieht.

Man entdeckt an dieser Stelle, dass die Ableitung der Integralfunktion von f die Funktion f ist.

Man kann sich als Bild noch vorstellen, dass man mit einem Fahrrad auf der Integralkurve fährt. 
Dazu wird das Bild eines Fahrradlenkers samt Lampe eingeblendet.

Hinweis: 
Das Kontrollkästchen Steigung Integralfunktion wird erst aktiv, wenn das Kontrollkästchen Integralfunktion aktiviert ist.  

                Integrator III b                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
                                   

H.-J. Elschenbroich & G. Seebach (2015)

x

Aufgabe

Mit dem Kontrollkästchen 'Integral von f' kann du einen Punkt I_a anzeigen lassen, 
der als y-Koordinate das Integral von f auf [a, x] enthält.
Der Punkt I_a erzeugt eine Ortslinie in Abhängigkeit von S, den Graphen der Integralfunktion.
Diesen kannst du mit dem Kontrollkästchen anzeigen lassen.
a) Ziehe an S und beobachte das Verhalten von I_a bzw. der Integralfunktion.

Mit dem Kontrollkästchen 'Steigung Integralfunktion' wird dann am Punkt I_a  eine
Tangente an den Graphen der Integralfunktion erzeugt und deren Steigung ausgegeben. 
Weiter kannst du den Wert von f(x), also die y-Koordinate von S, ausgeben. 
b) Ziehe an S. Was stellst du fest? 
c) Formuliere dazu einen Satz, der dazu eine Aussage über die Ableitung der Integralfunktion formuliert.
d) Aktiviere auch das 'Fahrradlenker-Bild' und interpretiere es.

Integralfunktion I(x)

Steigung Integralfunktion

Wert von f

Fahrradlenker Bild

f(x) = sin(x) + 0.4
a = 0 (slider from -10 to 10, step 0.1)
b = 13 (slider from a + 1 to 20, step 0.1)
f_{ab}(x) = If[a ≤ x ≤ b, f]
B: (b, 0)
A: (a, 0)
f_1(x) = If[f(x) ≥ 0, f, 0]
S = Point(f_{ab})
d = Segment(A, B)
Textfeld2 = Textfield(f)
Integral_x = Integral(f, a, x(S))
I_a: (x(S), Integral_x)
integral = false
Textfeld1 = Textfield(a)
Textfeld3 = Textfield(b)
info = false
XS: (x(S), 0)
q = Segment(S, XS)
i = Segment(A, XS)
r_1 = Segment(XS, I_a)
aufg = false
s = Segment(S, XS)
t = Segment(A, XS)
f3(x) = If[x(A) ≤ x ≤ x(S), f(x)]
integralfkt = false
f_2(x) = If[f(x) ≥ 0, 0, f(x)]
I_1(x) = If[a ≤ x ≤ x(S), I(x)]
steigung = false
wert = false
lenker = false
tangente = Tangent(I_a, I)
c = Slope(tangente)
Text2: "Steigung = " + c + ""
y_S: y(S)
Text3: "f(x) = " + y_S + ""
e = OrthogonalLine(I_a, tangente)
r = 0.8 (slider from 0.1 to 2, step 0.1)
g = Circle(I_a, r)
C, D = Intersect(g, e)
h = Segment(D, C)
E, F = Intersect(g, tangente)
j = AngularBisector(F, I_a, D)
k = AngularBisector(C, I_a, F)
G, H = Intersect(g, j)
J, K = Intersect(g, k)
l = Segment(I_a, F)
m = AngularBisector(K, I_a, F)
n = AngularBisector(H, I_a, F)
L, M = Intersect(g, n)
N, O = Intersect(g, m)
p = CircleSector(I_a, O, M)
Text1: "\int_{a}^{x}{f(t) dt} = " + (LaTeX[Integral_x]) + ""
Integr_1 = Integral(f_1, a, x(S))
Integr_2 = Integral(f_2, a, x(S))