a

b

f(x) =

Annäherung von links

Annäherung von rechts

Integral

a =

b =

Information

INTEGRATOR  Va  Rotationsvolumen

Ergibt einen anschaulichen Zugang zur Berechnung von Rotationsvolumen. 
Man sieht hier die Rotationszylinder direkt in 3D und es gibt damit einen 
direkten rechnerischen Zugang zum Volumen, ohne π*f²  integrieren zu müssen.

Wir nutzen hier linke Rechteckssummen und rechte Rechtecksummen statt Ober- und Untersummen,
weil man in GeoGebra 3D nicht einfach auf Ober- und Untersummen wie in 2D zurückgreifen kann.
Bei gutartigen Funktionen ist es ja egal, ob man Links-/Rechtssummen oder Ober-/Untersummen nutzt.
Aus den Rechtecken in 2D werden durch Rotation in 3D Zylinder erzeugt und deren Volumen aufsummiert.

Für große n entsteht dann der optische Eindruck einer weitgehend glatten Oberfläche.
Eine solche Oberfläche kann man sich (auch für kleine h) durch ein Kontrollkästchen anzeigen lassen.

                Integrator Va  (3D)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
                                   

Hans-Jürgen Elschenbroich (2015)

Aufgabe

Es soll das Volumen des Rotationskörpers mit der Randfunktion f(x) ermittelt werden.
a) Lasse über die Kontrollkästchen die Annäherung 'von links' und 'von rechts' anzeigen.
    Verändere die Perspektive im 3D-Fenster so, dass du alles gut erkennen kannst.
b) Wie kommst du von den Rechtecken im 2D-Fenster zur 3D-Ansicht?
     Erläutere das Verfahren als Verallgemeinerung des Vorgehens im zweidimensionalen Fall.
c) Erhöhe n am Schieberegler (das dauert für große n etwas), bis die Oberfläche 'glatt' aussieht.
    Was stellst du für Linksvolumen und Rechtsvolumen fest?
    Die Oberfläche des Rotationskörpers kannst du auch mit dem Kontrollkästchen anzeigen lassen. 

Oberfläche Rotationskörper

b = 9 (slider from a + 1 to 20, step 0.1)
f(x) = sin((0.1 * x^(2))) + 2
a = 0 (slider from -10 to 10, step 0.1)
n = 10 (slider from 1 to 500, step 1)
A: (a, 0)
B: (b, 0)
d = Segment(A, B)
Textfeld2 = Textfield(f)
links = false
rechts = true
int = false
Textfeld1 = Textfield(a)
Textfeld3 = Textfield(b)
info = false
aufg = false
I_b = Integral(f, a, b)
h: (b - a) / n
LinksZylinder = Sequence(Cylinder[(a + (k * h), 0, 0), (a + ((k + 1) * h), 0, 0), abs(f(a + (k * h)))], k, 0, n - 1)
RechtsZylinder = Sequence(Cylinder[(a + (k * h), 0, 0), (a + ((k + 1) * h), 0, 0), abs(f(a + ((k + 1) * h)))], k, 0, n - 1)
LinksVol = Sum(LinksZylinder)
RechtsVol = Sum(RechtsZylinder)
Text1: "Links-Volumen = " + LinksVol + ""
Text2: "Rechts-Volumen = " + RechtsVol + ""
c = LeftSum(f, a, b, n)
e = RectangleSum(f, a, b, n, 1)
oberfl = false
f1(x) = If[a ≤ x ≤ b, f]
g = Surface(f1, 360°)