Integrator I - Untersummen, Obersummen & Integral


Um die (orientierte) Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse zu bestimmen (geometrischer Ansatz) bzw. um den Bestand (Änderungseffekt, kumulierte Änderung) bei einer Änderungsfunktion f zu bestimmen (anwendungsorientierter Ansatz), geht man üblicherweise so vor: Man approximiert die Funktion f stückweise durch (in der Regel gleich breite) Treppenfunktionen und rechnet ersatzweise damit. Dabei werden die 'Treppen', also die stückweise konstante Funktionen, bestmöglich von unten und von oben angesetzt. So erhält man für n Unterteilungen eine Untersumme Un und eine Obersumme On
Anschaulich gesprochen: Man ersetzt die krummlinig begrenzte Fläche durch Rechtecksstreifen bzw. man ersetzt die Änderungsfunktion f durch stückweise konstante Änderungen. In der Schulpraxis wählt man in der Regel gleich breite Rechtecksstreifen.
 

Integrator I für n = 8 mit Untersumme und Obersumme

Vergrößert man n am Schieberegler, so nähern sich Un und On bei schulüblichen, gutartigen Funktionen f immer mehr an und werden im Grenzprozess identisch. Solche Funktionen f heißen dann integrierbar, der gemeinsame Wert ist das Integral von f über [a; b]. 

Dieses Vorgehen ist wesentlich für die Entwicklung des Begriffs Integrierbarkeit, hier ist das 'Einschachteln' von besonderer Bedeutung. 
Für die konkrete Berechnung des Wertes ist die Annäherung jedoch relativ schlecht, man braucht ziemlich große n, um auf drei oder vier Dezimalstellen zur Übereinstimmung zu kommen. Um numerisch schneller zu brauchbaren Werten zu kommen, kann man bei geeigneten Funktionen die stückweise Annäherung durch konstante Funktionen durch die Annäherung mit stückweise linearen Funktionen ersetzen. Anschaulich bedeutet dies, dass man bei der Fläche die Rechteckstreifen duch Trapezstreifen ersetzt. Dieses Sehnentrapezverfahren ist das einfachste und naheliegendste und zugleich schon ziemlich effiziente Verfahren zur numerischen Integration. Es gibt weitere, noch effizientere, aber das soll hier nicht Thema sein.

Integrator I für n = 1000 mit Untersumme, Obersumme und Trapezsumme.

Zu betonen ist, dass beim Integrator I keine komplizierten und trickreichen Zusammenfassungen von Produktsummen (Rechtecksflächen) mit anschließendem Kürzen erfolgen, sondern dass wir die Software einfach 'straight forward' rechnen lassen und die Rechenpower der Software ausnutzen. Damit haben wir jetzt einen auf der Nutzerebene kalkülfreien Zugang zu den Grundvorstellungen und Grundaufgaben der Integralrechnung (der vordem ohne digitale Werkzeuge nicht möglich war), der sich nicht in Termumformungen verliert, sondern einen direkten Zugang zu den mathematischen Aspekten und Grundvorstellungen ermöglicht.
  


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